Edgar Malakjan je odchovancem klubu FC Pjunik z Arménie. V sedmnácti letech nastoupil v prvním týmu arménského klubu a ve své první sezóně vyhrál s mužstvem ligový titul. V jeho sestavě byl úspěšný i v dalších sezónách, v letech 2008, 2009 a 2010 získal další ligové tituly, 2009 a 2010 arménský pohár a 2008, 2010 a 2011 arménský Superpohár.
V červnu roku 2012 se stal hráčem Viktorie Plzeň, kde podepsal tříletý kontrakt. Na své kvality Západočechy upozornil během vzájemných zápasů ve 2. předkole Ligy mistrů sezóny 2011/12, kde Plzeň vyřadila FC Pjunik dvěma výhrami 4:0 a 5:1. Jeho úvod angažmá v Plzni poznamenalo zranění hned v prvním kole sezony, poté se do sestavy týmu prosazoval již velmi obtížně. Na podzim se na hřišti objevil v šesti zápasech, odehrál 147 minut.