Rodák ze srbského Bělehradu začínal s fotbalem v klubu FK Partizan, kde prošel mládežnickými kategoriemi. Později přestoupil do týmu FK Teleoptik a v sezoně 2014/2015 za něj nastřílel 18 branek. Jeho skvělé střelecké výkony mu vynesly angažmá v klubech FK Jagodina a Borac Čačak, za něž nastupoval v Super Lize, která je nejvyšší fotbalovou soutěží v Srbsku.
Lazar Sajčič podepsal s Dynamem smlouvu na začátku února loňského roku a jeho angažmá v Dynamu tak trvalo přesně rok. Srbský útočník první tři jarní zápasy loňské sezony nastoupil v základní sestavě, avšak právě ve třetím zápase se zranil a právě zranění ho pak pronásledovala prakticky celý kalendářní rok. Fit nebyl ani na začátku letní přípravy před právě probíhající sezonou, a proto se do tréninku pozvolně vracel v dresu juniorského týmu. Za ten nakonec odehrál devět zápasů, v nichž vstřelil šest branek. Jenže celý podzim Lazar Sajčič také laboroval s nejrůznějšími zraněními a nemohl tak v zimě nastoupit do přípravy A-týmu.
Vzhledem k těmto okolnostem se hráč i vedení klubu vzájemně dohodli na předčasném ukončení smlouvy.
